Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{9} - 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 28$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ và ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ ra ngoài ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $i$ và $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - (i - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $i$ khỏi $i$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = - \frac{1}{2}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $i$ vào $- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = - 28 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Bước 3.2.4

Nhân $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ với $1$ .

$a = - 28 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Bước 3.2.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = - 28 \frac{1}{2^{0}}$

Bước 3.2.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$a = - 28 \cdot 1$

Bước 3.2.8

Nhân $- 28$ với $1$ .

$a = - 28$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$- 28 \frac{1 - {(- \frac{1}{2})}^{9}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{2^{9}})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{9}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Di chuyển ${(- 1)}^{9}$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.2.2

Nhân ${(- 1)}^{9}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.2.3

Cộng $9$ và $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $10$ .

$- 28 \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.4

Nhân $\frac{1^{9}}{2^{9}}$ với $1$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $9$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- 28 \frac{\frac{512}{512} + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 28 \frac{\frac{512 + 1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.9

Cộng $512$ và $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2 + 1}{2}}$

Bước 5.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{3}{2}}$

Bước 5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- 28 (\frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $513$ .

$- 28 (\frac{3 (171)}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 28 (\frac{3 \cdot 171}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 28 (\frac{171}{512} \cdot 2)$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $512$ .

$- 28 (\frac{171}{2 (256)} \cdot 2)$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 28 (\frac{171}{2 \cdot 256} \cdot 2)$

Bước 5.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 28 (\frac{171}{256})$

Bước 5.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 28$ .

$4 (- 7) \frac{171}{256}$

Bước 5.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Bước 5.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Bước 5.6.4

Viết lại biểu thức.

$- 7 (\frac{171}{64})$

Bước 5.7

Kết hợp $- 7$ và $\frac{171}{64}$ .

$\frac{- 7 \cdot 171}{64}$

Bước 5.8

Nhân $- 7$ với $171$ .

$\frac{- 1197}{64}$

Bước 5.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1197}{64}$