Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Bước 1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $π$ ra khỏi tích phân.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 4 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 4 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 2.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 - 2 x$ .

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $4$ và $0$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 - 2 x$ .

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Bước 2.5.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Bước 6

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $0$ và tại $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Bước 8.2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Bước 8.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Bước 8.2.4

Nhân $64$ với $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Bước 8.2.5

Kết hợp $- 64$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

Bước 8.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

Bước 8.2.7

Trừ $\frac{64}{3}$ khỏi $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

Bước 8.2.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

Bước 8.2.9

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Bước 8.2.10

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

Bước 8.2.11

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

Bước 8.2.12

Di chuyển $64$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

Bước 8.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $64$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $64 π$ .

$\frac{2 (32 π)}{6}$

Bước 8.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

Bước 8.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

Bước 8.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{32 π}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{32 π}{3}$

Dạng thập phân:

$33.51032163 \dots$

Bước 10