Giải tích Ví dụ

$\frac{2}{1 - x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{2}{1 - x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{2}{1 - x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2}{1 - x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Bước 5

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Bước 5.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 5.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Bước 5.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Bước 5.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.7.1.2

Chia $(A) (1 - x)$ cho $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.7.3

Nhân $A$ với $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.7.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.7.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 5.1.7.5.2

Chia $(B) (1 + x)$ cho $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Bước 5.1.7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Bước 5.1.7.7

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Bước 5.1.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Di chuyển $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Bước 5.1.8.2

Sắp xếp lại $B$ và $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Bước 5.1.8.3

Di chuyển $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Bước 5.1.8.4

Di chuyển $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Bước 5.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = - 1 A + B$

Bước 5.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A + B$

Bước 5.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Bước 5.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giải tìm $A$ trong $1 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Bước 5.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Bước 5.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $1 - B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $0 = - 1 A + B$ bằng $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Rút gọn $- 1 (1 - B) + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.2.2.1.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.2.2.1.1.3

Nhân $- 1 (- B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.2.2.1.1.3.2

Nhân $B$ với $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.2.2.1.2

Cộng $B$ và $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.3

Giải tìm $B$ trong $0 = - 1 + 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.3.3.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Bước 5.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $\frac{1}{2}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = 1 - B$ bằng $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Rút gọn $1 - (\frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 5.3.4.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 5.3.4.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 5.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Bước 5.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Bước 5.5.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Bước 5.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Bước 5.5.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{1 - x}$ .

$2 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 8

Giả sử $u_{1} = 1 + x$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 8.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = 1 - x$ . Sau đó $d u_{2} = - d x$ , nên $- d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 11.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Bước 14

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C)))$

Bước 15

Rút gọn.

$2 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + x$ .

$2 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - x$ .

$2 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Bước 17.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Bước 17.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Bước 17.3.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$