Giải tích Ví dụ

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int u \sin (u) d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Bước 6.2

Nhân $\int \cos (u) d u$ với $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Bước 7

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Bước 8

Viết lại $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ ở dạng $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\cos (\frac{x}{2})$ và $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ vào tử số.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Bước 10.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Bước 10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Bước 10.3.4

Viết lại biểu thức.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Bước 10.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Bước 10.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$