Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

Bước 1

Vì $\frac{16}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{16}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 2.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 - 2 x$ .

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Bước 2.3.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 - 2 x$ .

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Bước 2.5.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u^{\frac{5}{3}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{16}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Bước 6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{5}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ tại $- 1$ và tại $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Bước 8.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Bước 8.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Bước 8.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Bước 8.2.5

Nhân $\frac{3}{8}$ với $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Bước 8.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

Bước 8.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

Bước 8.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

Bước 8.2.9

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

Bước 8.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.10.1

Đưa $8$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

Bước 8.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.10.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Bước 8.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Bước 8.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Bước 8.2.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

Bước 8.2.11

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

Bước 8.2.12

Nhân $0$ với $\frac{8}{3}$ .

$0$

Bước 9