Giải tích Ví dụ

$\int 4 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = \sin (θ)$ . Sau đó $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = \sin (θ)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$4 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 3

Đưa $\cos^{4} (u_{1})$ ra ngoài.

$4 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$4 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4.2

Viết lại ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$4 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$4 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$4 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Bước 7

Khai triển ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$4 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 7.5

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ .

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 7.6

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ .

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.7

Nhân $1$ với $1$ .

$4 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.11

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Bước 7.13

Cộng $2$ và $2$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Bước 7.14

Trừ ${u_{2}}^{2}$ khỏi $- {u_{2}}^{2}$ .

$4 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Bước 7.15

Sắp xếp lại $- 2 {u_{2}}^{2}$ và ${u_{2}}^{4}$ .

$4 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.16

Di chuyển $1$ .

$4 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$4 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{4}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Bước 10

Vì $- 2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Bước 13.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và ${u_{2}}^{5}$ .

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Bước 13.2

Rút gọn.

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (u_{1})$ .

$4 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (θ)$ .

$4 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$