Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{2 t - 4 + 5 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (t)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (t) = \int \frac{2 t - 4 + 5 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} d t$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Bước 5

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Bước 6

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (2 t - 4 + 5 t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 t - 4) t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (t^{1} t^{- \frac{1}{2}}) - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 t^{1 - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int 2 t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 2 t^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.7

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Bước 7.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{1 - 1}{2}} d t$

Bước 7.10

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{0}{2}} d t$

Bước 7.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{2 (0)}{2}} d t$

Bước 7.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

Bước 7.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

Bước 7.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{\frac{0}{1}} d t$

Bước 7.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 t^{0} d t$

Bước 7.12

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 \cdot 1 d t$

Bước 7.13

Nhân $5$ với $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 5 d t$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

Bước 11

Vì $- 4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 5 d t$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- \frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int 5 d t$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 5 t + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 5 t + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 5 t + C$

Bước 14.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 5 t + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (t) = \frac{2 t - 4 + 5 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 5 t + C$