Giải tích Ví dụ

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{5}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5}{3} x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.2.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.2.5

Nhân $- 4$ với $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.2.6

Kết hợp $\frac{- 20}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{5}{4}$ và $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Bước 1.4

Vì $\frac{4}{15}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{4}{15}$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ và $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{5}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x^{4}}{4}$ đối với $x$ là $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.4

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{20}{4}$ và $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.2.6.2.4

Chia $5 x^{3}$ cho $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{20}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{20 x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Bước 2.3.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Bước 2.3.5

Nhân $- 3$ với $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Bước 2.3.6

Kết hợp $\frac{- 60}{3}$ và $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Bước 2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 60$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Bước 2.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Bước 2.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Bước 2.3.7.2.4

Chia $- 20 x^{2}$ cho $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$