Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{9} (\sqrt{x} - \frac{1}{3} x) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Bước 5

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Bước 7.2

Tính $\frac{1}{2} x^{2}$ tại $9$ và tại $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.6

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.7.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.8

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.10.2

Viết lại biểu thức.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.12

Nhân $0$ với $- 1$ .

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.13

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.14

Cộng $18$ và $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.15

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $81$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 7.3.17

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 7.3.18

Nhân $0$ với $- 1$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Bước 7.3.19

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

Bước 7.3.20

Cộng $\frac{81}{2}$ và $0$ .

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

Bước 7.3.21

Nhân $\frac{81}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

Bước 7.3.22

Nhân $2$ với $3$ .

$18 - \frac{81}{6}$

Bước 7.3.23

Triệt tiêu thừa số chung của $81$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.23.1

Đưa $3$ ra ngoài $81$ .

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

Bước 7.3.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.23.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Bước 7.3.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Bước 7.3.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$18 - \frac{27}{2}$

Bước 7.3.24

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Bước 7.3.25

Kết hợp $18$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Bước 7.3.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Bước 7.3.27

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.27.1

Nhân $18$ với $2$ .

$\frac{36 - 27}{2}$

Bước 7.3.27.2

Trừ $27$ khỏi $36$ .

$\frac{9}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{9}{2}$

Dạng thập phân:

$4.5$

Dạng hỗn số:

$4 \frac{1}{2}$

Bước 9