Giải tích Ví dụ

$e^{- 2 x} + 2 x$

Bước 1

Viết $e^{- 2 x} + 2 x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

Bước 5

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 12.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

Bước 12.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$