Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 7)}{(x^{4} + 6 x)}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x^{4}}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Bước 6.3

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + 6 \cdot 0}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $7$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 6 \cdot 0}$

Bước 8.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{1 + 6 \cdot 0}$

Bước 8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $6$ với $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Bước 8.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 8.3

Chia $0$ cho $1$ .

$0$