Giải tích Ví dụ

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

Bước 4

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 5}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ ở dạng $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{4}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Bước 7.2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân với $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Bước 9.2

Tách các phân số.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

Bước 9.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ sang $\csc^{4} (x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

Bước 9.4

Nhân $4$ với $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

Bước 9.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

Bước 9.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$