Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 4$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $4$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

Bước 5

Tính $\ln (| u |)$ tại $k^{2} + 4$ và tại $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

Bước 7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $| k^{2} + 4 |$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

Bước 8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$