Giải tích Ví dụ

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3} - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} - 8$ .

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 1.2.3

Vì $- 8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

Bước 1.2.4

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

Bước 3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

Bước 4

Nhân $3$ với $4$ .

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

Bước 5

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

Bước 6

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$y' (2) = 12 e^{0}$

Bước 7

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$y' (2) = 12 \cdot 1$

Bước 8

Nhân $12$ với $1$ .

$y' (2) = 12$