Giải tích Ví dụ

$\cos (x + y) = y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Bước 3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Viết lại.

$0 + 0 - \sin (x + y) (1 + y') = y'$

Bước 5.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y'$

Bước 5.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' = y'$

Bước 5.1.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' = y'$

Bước 5.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y'$

Bước 5.2

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) - y' = 0$

Bước 5.3

Cộng $\sin (x + y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- y' \sin (x + y) - y' = \sin (x + y)$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' \sin (x + y) - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' \sin (x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) - y' = \sin (x + y)$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' \cdot - 1 = \sin (x + y)$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$

Bước 5.5

Viết lại $- 1 \sin (x + y)$ ở dạng $- \sin (x + y)$ .

$y' (- \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$

Bước 5.6

Chia mỗi số hạng trong $y' (- \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$ cho $- \sin (x + y) - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$ cho $- \sin (x + y) - 1$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) - 1)}{- \sin (x + y) - 1} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - 1}$

Bước 5.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- \sin (x + y) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- \sin (x + y) - 1)}{- \sin (x + y) - 1} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - 1}$

Bước 5.6.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - 1}$

Bước 5.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (x + y) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - 1}$

Bước 5.6.3.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - 1 (1)}$

Bước 5.6.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin (x + y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y) + 1)}$

Bước 5.6.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + 1}$