Giải tích Ví dụ

$\int 4 x e^{2 x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = 4 x$ và $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $x (4 e^{2 x})$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 2.4.2.4

Chia $x (2 e^{2 x})$ cho $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2} \cdot 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot 4$ ra khỏi tích phân.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

Bước 4.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Bước 8.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

Bước 10

Viết lại $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ ở dạng $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ .

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$