Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

Bước 1

Chia $x^{2} - 1$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Bước 1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Bước 1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Bước 1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Bước 1.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Bước 1.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Bước 1.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

Bước 1.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

Bước 1.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

Bước 1.11

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ và $- x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{1}{2} x^{2} - x$ tại $2$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.5

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.7

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

Bước 5.2.2.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 5.2.2.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Bước 5.2.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

Bước 5.2.2.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 - \frac{- 1}{2}$

Bước 5.2.2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - - \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.14

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

Bước 5.2.2.15

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.16

Cộng $0$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$

Bước 7