Giải tích Ví dụ

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $p$ bằng $1$ .

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

Bước 2

Tính $\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

Bước 2.2

Tính $9 \sum_{p = 1}^{8} p$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Cộng $8$ và $1$ .

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $8$ với $9$ .

$- 9 (\frac{72}{2})$

Bước 2.2.3.3

Chia $72$ cho $2$ .

$- 9 \cdot 36$

Bước 2.2.3.4

Nhân $- 9$ với $36$ .

$- 324$

Bước 2.3

Tính $\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Bước 2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Bước 2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Bước 2.3.3.2.2

Cộng $8$ và $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Bước 2.3.3.2.3

Nhân $4$ với $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Bước 2.3.3.2.4

Cộng $16$ và $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Bước 2.3.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1

Nhân $36$ với $17$ .

$\frac{612}{3}$

Bước 2.3.3.3.2

Chia $612$ cho $3$ .

$204$

Bước 2.4

Cộng các kết quả của tổng.

$- 324 + 204$

Bước 2.5

Cộng $- 324$ và $204$ .

$- 120$

Bước 3

Tính $\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $p$ .

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $- 9$ với $1$ .

$- 9 + 1^{2}$

Bước 3.2.2

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 9 + 1$

Bước 3.2.3

Cộng $- 9$ và $1$ .

$- 8$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$- 120 + 8$

Bước 5

Cộng $- 120$ và $8$ .

$- 112$