Giải tích Ví dụ

$- y^{2} + 5 = x^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} + 5) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 y y' + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $- 2 y y'$ và $0$ .

$- 2 y y'$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 2 y y' = 2 x$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $- 2 y y' = 2 x$ cho $- 2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 y y' = 2 x$ cho $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

Bước 5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- 2 y}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{- 2 y}$

Bước 5.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (- y)}$

Bước 5.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 x}{2 (- y)}$

Bước 5.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{x}{- y}$

Bước 5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x}{y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$