Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \cos (x + 2) - x^{2}}{4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 \cos (x + 2) - x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 \cos (x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.2

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 2} \cos (x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{4 \cos (- 2 + 2) - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{4 \cos (- 2 + 2) - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$\frac{4 \cos (0) - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.8.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.8.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.8.1.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.8.1.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.2.8.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Bước 1.3.2

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to - 2} e^{- 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Bước 1.3.3

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{0}{4 e^{lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Bước 1.3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{0}{4 e^{- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Bước 1.3.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{0}{4 e^{- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Bước 1.3.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Bước 1.3.7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x} - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Bước 1.3.8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2} - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Bước 1.3.8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2} - {(- 2)}^{2}}$

Bước 1.3.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.9.1.1

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 + 4} - {(- 2)}^{2}}$

Bước 1.3.9.1.2

Cộng $- 4$ và $4$ .

$\frac{0}{4 e^{0} - {(- 2)}^{2}}$

Bước 1.3.9.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 - {(- 2)}^{2}}$

Bước 1.3.9.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{0}{4 - {(- 2)}^{2}}$

Bước 1.3.9.1.5

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Bước 1.3.9.1.6

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Bước 1.3.9.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.9.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.10

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \cos (x + 2) - x^{2}}{4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2) - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2) - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \cos (x + 2) - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \cos (x + 2)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\cos (x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [\cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.3.8

Nhân $- 1$ với $4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - 2 x}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7

Tính $\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 e^{- 4 - 2 x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 - 2 x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 4 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 4 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.4

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.5

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.8

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.9

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 4 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (- 2 e^{- 4 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.7.10

Nhân $- 2$ với $4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Bước 3.8

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - (2 x)}$

Bước 3.8.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - 2 x}$

Bước 3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2 x - 4 \sin (x + 2)$ và $- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x) - 4 \sin (x + 2)}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 \sin (x + 2)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x) + 2 (- 2 \sin (x + 2))}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x) + 2 (- 2 \sin (x + 2))$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x) - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 4.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 8 e^{- 4 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x) + 2 (- 4 e^{- 4 - 2 x})}$

Bước 4.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x) + 2 (- 4 e^{- 4 - 2 x})$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x - 4 e^{- 4 - 2 x})}$

Bước 4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x - 4 e^{- 4 - 2 x})}$

Bước 4.4.5

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - 2} \frac{- x - 2 \sin (x + 2)}{- x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} - x - 2 \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2 \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 7

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 lim_{x \to - 2} \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 12

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 lim_{x \to - 2} e^{- 4 - 2 x}}$

Bước 13

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x}}$

Bước 14

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x}}$

Bước 15

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x}}$

Bước 16

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Bước 17

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Bước 17.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Bước 17.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Bước 17.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2 - 2 \sin (- 2 + 2)$ và $2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin (- 2 + 2)$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (- 2 + 2))}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- \sin (- 2 + 2))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1) - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1) + 2 (- 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

Bước 18.1.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

Bước 18.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

Bước 18.1.4.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \sin (- 2 + 2)}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$\frac{1 - \sin (0)}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1 - 0}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Bước 18.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{1}{1 - 2 e^{- 4 + 4}}$

Bước 18.3.2

Cộng $- 4$ và $4$ .

$\frac{1}{1 - 2 e^{0}}$

Bước 18.3.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1}$

Bước 18.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{1 - 2}$

Bước 18.3.5

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Bước 18.4

Chia $1$ cho $- 1$ .

$- 1$