Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - x + 7}{\sqrt{9 x^{6} + 1}}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 2.2.2

Chia $9$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 6.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{6}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Bước 8.1.2

Nhân $7$ với $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Bước 8.1.3

Cộng $1 + 0$ và $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Bước 8.1.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Bước 8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $9$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

Bước 8.2.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 8.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{3}$