Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x + 3 y} = 5 x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 3 y}$ ở dạng ${(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 x$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 3 y$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.6.3

Di chuyển ${(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 3.9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.10

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 3 y')$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 3 y')$ .

$(1 + 3 y') \frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.11.2

Nhân $1 + 3 y'$ với $\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 4.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} = 5$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân cả hai vế với $2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}) = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn $\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 3 y'}{{(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + 3 y'}{{(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$1 + 3 y' = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.4

Sắp xếp lại $1$ và $3 y'$ .

$3 y' + 1 = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $2$ với $5$ .

$3 y' + 1 = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y' = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 6.3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ cho $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 6.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 6.3.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{3}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{3}$