Giải tích Ví dụ

$\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Bước 1

Viết $\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Bước 4

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 1 - x^{3}$ . Sau đó $d u = - 3 x^{2} d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 5.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Bước 5.1.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Bước 5.1.4

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $0$ .

$- 3 x^{2}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 6.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$9 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Bước 6.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$9 \int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$9 (- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u)$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 9$ .

$\frac{- 9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 10.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 10.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 10.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 10.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 10.1.2.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 10.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 10.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 10.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 10.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 10.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 12.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{3}$ .

$- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$