Giải tích Ví dụ

$\frac{1 + \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x}{1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 4.4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Bước 4.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $x - 2 (1 + \ln (x)) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Bước 4.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Bước 4.4.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 (1 + \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Bước 4.4.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 2 (1 + \ln (x))}{x^{3}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{1 - 2 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 6.2.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 6.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 - \ln (x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 6.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Bước 6.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (\ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Bước 6.3.4

Viết lại $- 1 (1 + \ln (x^{2}))$ ở dạng $- (1 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Bước 6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$