Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{5}{8}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{8} x$ đối với $x$ là $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5}{8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Bước 1.2.3

Nhân $\frac{5}{8}$ với $1$ .

$\frac{5}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Bước 1.3

Vì $\frac{2}{9}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{2}{9}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- \frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{6} x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Bước 1.4.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{5}{8} + 0 + 3 (\frac{1}{6}) x^{- 4}$

Bước 1.4.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6} x^{- 4}$

Bước 1.4.5

Kết hợp $\frac{3}{6}$ và $x^{- 4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 x^{- 4}}{6}$

Bước 1.4.6

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6 x^{4}}$

Bước 1.4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{6 x^{4}}$

Bước 1.4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x^{4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{3 (2 x^{4})}$

Bước 1.4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{4})}$

Bước 1.4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{1}{2 x^{4}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $\frac{5}{8}$ và $0$ .

$\frac{5}{8} + \frac{1}{2 x^{4}}$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.8

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.9

Kết hợp $\frac{- 4}{2}$ và $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.10

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{5}{8}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{5}{8}$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{2}{x^{5}} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $- \frac{2}{x^{5}}$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{5}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{x^{5}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Bước 3.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 5$ .

$- 2 (- 5 x^{- 6})$

Bước 3.4

Nhân $- 5$ với $- 2$ .

$10 x^{- 6}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{6}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp $10$ và $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{x^{6}}$