Giải tích Ví dụ

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{5}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.9

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.2.10

Di chuyển $x^{- \frac{4}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{2}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

Bước 2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Bước 2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

Bước 2.2.2.2

Nhân $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

Bước 2.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Bước 2.7.2

Trừ $5$ khỏi $- 4$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Bước 2.9

Kết hợp $x^{- \frac{9}{5}}$ và $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Bước 2.10

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

Bước 2.11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

Bước 2.11.2

Nhân $5$ với $5$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Bước 2.11.3

Di chuyển $x^{- \frac{9}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$