Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$

Bước 2

Khai triển $\ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$ bằng cách di chuyển $x e^{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x e^{x} \ln (x^{3} + 1)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x e^{x}$ và $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{3} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{3} + 1}$ và $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x^{3} + 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4.2

Kết hợp $\frac{x}{x^{3} + 1}$ và $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.6.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4.6.2

Kết hợp $3$ và $\frac{x e^{x}}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.4.6.3

Kết hợp $\frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x}) x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.5

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.5.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x^{1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2 + 1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{3} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Bước 3.2.8.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$

Bước 3.2.9

Để viết $\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \frac{\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + (\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.2

Khai triển $(\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1.1.3.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1.1.3.1.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.3.1.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1.1.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3 + 1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.3.1.3

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.3.2

Nhân $\ln (x^{3} + 1)$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \cdot \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.1.3.3

Nhân $\ln (x^{3} + 1)$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Bước 3.2.11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1^{3}} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Bước 5.1.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Bước 5.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Bước 5.1.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ và ${(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$ .

$y' = \frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$y' = \frac{{(x^{3} + 1)}^{x e^{x}} (3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1))}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$