Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x - 9}{4 x^{3} + 2 x + 7}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.2.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 2.5

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 6.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 10.1.2

Nhân $- 9$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 10.1.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{4 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 10.2.2

Nhân $7$ với $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0}$

Bước 10.2.3

Cộng $4 + 0$ và $0$ .

$\frac{0}{4 + 0}$

Bước 10.2.4

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{0}{4}$

Bước 10.3

Chia $0$ cho $4$ .

$0$