Giải tích Ví dụ

$\int {(\frac{5 + r}{r})}^{2} d r$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5 + r}{r}$ .

$\int \frac{{(5 + r)}^{2}}{r^{2}} d r$

Bước 1.2

Di chuyển $r^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(5 + r)}^{2} {(r^{2})}^{- 1} d r$

Bước 1.3

Nhân các số mũ trong ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(5 + r)}^{2} r^{2 \cdot - 1} d r$

Bước 1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int {(5 + r)}^{2} r^{- 2} d r$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 5 + r$ . Sau đó $d u_{1} = d r$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 5 + r$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 + r$ .

$\frac{d}{d r} [5 + r]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + r$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [5] + \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{d}{d r} [5] + \frac{d}{d r} [r]$

Bước 2.1.3

Vì $5$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $5$ đối với $r$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 5)}^{- 2} d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = u_{1} - 5$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = u_{1} - 5$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $u_{1} - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 5]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{1} - 5$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Bước 3.1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int {(u_{2} + 5)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Bước 4

Giả sử $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Sau đó $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2}}{2}$ và ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Bước 5.3

Di chuyển ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Bước 5.4

Viết lại ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 5)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{3}}$ ở dạng ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Bước 7.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ ở dạng ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Bước 7.3

Di chuyển ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Bước 7.4

Nhân các số mũ trong ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Bước 7.4.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Bước 7.4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Bước 7.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}$ ở dạng $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)$ .

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5) + 5 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot 5) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 5) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot 5) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot 5) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.8

Sắp xếp lại ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ và $5$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 8.12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.13

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.14

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.16

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.18

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.21

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.22

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.22.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.22.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.22.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.22.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.22.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.22.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.23

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.25

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.26

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.26.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.26.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.26.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.26.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.26.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.26.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 \cdot 5 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.27

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 5 {u_{3}}^{- 1} + 25 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.28

Cộng $5 {u_{3}}^{- 1}$ và $5 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 10 {u_{3}}^{- 1} + 25 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8.29

Di chuyển ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 10 {u_{3}}^{- 1} + 25 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3}$

Bước 9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int 10 {u_{3}}^{- 1} + 25 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int 10 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 25 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Bước 11

Vì $10$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (10 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 25 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Bước 12

Tích phân của ${u_{3}}^{- 1}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (10 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int 25 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Bước 13

Vì $25$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $25$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (10 (\ln (| u_{3} |) + C) + 25 \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (10 (\ln (| u_{3} |) + C) + 25 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (10 (\ln (| u_{3} |) + C) + 25 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 16

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (10 \ln (| u_{3} |) - \frac{50}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| {u_{2}}^{2} |) - \frac{50}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $u_{1} - 5$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| {(u_{1} - 5)}^{2} |) - \frac{50}{{({(u_{1} - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(u_{1} - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 17.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 + r$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| {(5 + r - 5)}^{2} |) - \frac{50}{{({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $10 \ln (| {(5 + r - 5)}^{2} |) - \frac{50}{{({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| {(r + 0)}^{2} |) - \frac{50}{{({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.1.2

Cộng $r$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| r^{2} |) - \frac{50}{{({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.1.3

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| r^{2} |) - \frac{50}{{({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.1.4

Cộng $r$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| r^{2} |) - \frac{50}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(5 + r - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.1.5

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| r^{2} |) - \frac{50}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.1.6

Cộng $r$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (| r^{2} |) - \frac{50}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r^{1}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.2.2.2

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 18.2.3

Nhân các số mũ trong ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Bước 18.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Bước 18.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r} + 2 r^{1}) + C$

Bước 18.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2}) - \frac{50}{r} + 2 r) + C$

Bước 18.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (10 \ln (r^{2})) + \frac{1}{2} (- \frac{50}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 \ln (r^{2})$ .

$\frac{1}{2} (2 (5 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{50}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (2 (5 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{50}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.1.3

Viết lại biểu thức.

$5 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{50}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{50}{r}$ vào tử số.

$5 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 50}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 50$ .

$5 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 25)}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 25}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$5 \ln (r^{2}) + \frac{- 25}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 r$ .

$5 \ln (r^{2}) + \frac{- 25}{r} + \frac{1}{2} (2 (r)) + C$

Bước 18.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \ln (r^{2}) + \frac{- 25}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Bước 18.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$5 \ln (r^{2}) + \frac{- 25}{r} + r + C$

Bước 18.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \ln (r^{2}) - \frac{25}{r} + r + C$