Giải tích Ví dụ

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Bước 1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- 2 \csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

Bước 2.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \csc (2 x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.1.4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.4.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Bước 2.1.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.5.1

Nhân $4$ với $1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Bước 2.1.4.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 3

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 5

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 \csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$