Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 5 x + 4}{2 x^{2} - 8 x}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.2.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{2 + \frac{- 8 x}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{2 + \frac{x \cdot - 8}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{2 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x}}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{2 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x}}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{2 + \frac{- 8}{x}}$

Bước 2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Bước 2.6

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Bước 6.3

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{2 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{2 - 8 \cdot 0}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $- 5$ với $0$ .

$\frac{1 + 0 + 4 \cdot 0}{2 - 8 \cdot 0}$

Bước 8.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{2 - 8 \cdot 0}$

Bước 8.1.3

Cộng $1 + 0$ và $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 - 8 \cdot 0}$

Bước 8.1.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2 - 8 \cdot 0}$

Bước 8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $- 8$ với $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Bước 8.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$