Giải tích Ví dụ

$\sqrt[3]{1 + 3 x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{1 + 3 x}$ ở dạng ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 1 + 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 3 x$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 11

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Bước 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$ với $1$ .

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 14.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{{(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$