Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 5

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 5.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{(1 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 6.2.1.2.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $e^{2 x}$ khỏi $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$