Giải tích Ví dụ

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 9

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 10

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 11

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 11.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 11.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{- 2} d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x + 3 (- x^{- 1}) + C$

Bước 13.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Bước 13.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$