Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 - 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 - 0}{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$

Bước 8.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Bước 8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $1 + 0$ và $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Bước 8.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 8.3

Chia $0$ cho $1$ .

$0$