Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x + 3) - \ln (5)}{x - 2}$

Bước 1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.1.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{5}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to 2} x + 3)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.1.4

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (2 + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.2.3.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Bước 2.1.3.1.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Bước 2.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Bước 2.1.3.3.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x + 3}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x + 3}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.4

Nhân $\frac{5}{x + 3}$ với $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.5

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x + 3}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.6

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{5}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.10

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.11

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.12

Nhân $\frac{1}{x + 3}$ với $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Bước 2.3.13

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 2.3.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 2.3.15

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + 0}$

Bước 2.3.16

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} \cdot 1$

Bước 2.5

Nhân $\frac{1}{x + 3}$ với $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3}$

Bước 3.4

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Bước 4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{1}{2 + 3}$

Bước 5

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{1}{5}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{5}$

Dạng thập phân:

$0.2$