Giải tích Ví dụ

$\int \frac{9 x}{\sqrt{3 x^{2} + 8}} d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 8}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x^{2} + 8$ . Sau đó $d u = 6 x d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x^{2} + 8$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $6 x$ và $0$ .

$6 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$9 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $9$ .

$\frac{9}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2} + 8$ .

$3 {(3 x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$