Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0$ .

$0$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Bước 7

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\infty$

Bước 8

Vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$