Giải tích Ví dụ

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Bước 1

Viết ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ ở dạng $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Bước 4.2

Khai triển $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 4.3.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 4.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 4.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 4.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 4.3.1.3

Nhân $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.3.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.3.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.3.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Bước 4.3.1.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 4.3.1.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 4.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 4.3.3

Trừ $\cos (x) \sin (x)$ khỏi $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 4.4

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 4.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 8

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 8.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x + C - 2 \int - u d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x + C - 2 (- \int u d u)$

Bước 10

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$x + C + 2 \int u d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Bước 12.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x + 1 u^{2} + C$

Bước 12.2.3

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$x + u^{2} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$x + \cos^{2} (x) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \cos^{2} (x) + C$