Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = \ln (y)$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , nên $y d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = \ln (y)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Bước 1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Bước 1.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Bước 4

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 5

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Bước 6.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Bước 6.3

Chia $2$ cho $1$ .

$\ln (2)$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (2)$

Dạng thập phân:

$0.69314718 \dots$