Giải tích Ví dụ

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Bước 2

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $y = e^{r x}$ .

Bước 3

Tìm phương trình đặc trưng của $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Bước 3.3

Thay vào phương trình vi phân.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Bước 3.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Bước 3.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Bước 3.5.2

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Bước 3.5.3

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Bước 3.5.4

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Bước 3.5.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Bước 3.6

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Bước 4

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Bước 4.2

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Bước 4.3

Phân tích $r^{2} + 3 r - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $3$ .

$- 1, 4$

Bước 4.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Bước 4.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Bước 4.5

Đặt $r - 1$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đặt $r - 1$ bằng với $0$ .

$r - 1 = 0$

Bước 4.5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$r = 1$

Bước 4.6

Đặt $r + 4$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt $r + 4$ bằng với $0$ .

$r + 4 = 0$

Bước 4.6.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r = - 4$

Bước 4.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(r - 1) (r + 4) = 0$ đúng.

$r = 1, - 4$

Bước 5

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Bước 6

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Bước 7

Nhân $x$ với $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$