Giải tích Ví dụ

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 7 x + 5 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 7 x$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Bước 3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $5 x^{5}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Bước 3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 5

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 9$ ra khỏi tích phân.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 6

Giả sử $u = - 9 x$ . Sau đó $d u = - 9 d x$ , nên $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = - 9 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Bước 6.1.2

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 9$ với $1$ .

$- 9$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{9}$ .

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 9

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 10

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $9$ .

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 11.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 11.3

Nhân $\int e^{u} d u$ với $1$ .

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 12

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Bước 13

Sắp xếp lại $- 7$ và $5 x^{4}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

Bước 14

Chia $5 x^{4} - 7$ cho $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Bước 14.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $5 x^{4}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Bước 14.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Bước 14.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $5 x^{4} + 0$

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Bước 14.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Bước 14.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

Bước 14.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

Bước 15

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Bước 16

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Bước 17

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Bước 18

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Bước 19

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

Bước 20

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 21

Nhân $7$ với $- 1$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 22

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

Bước 23

Rút gọn.

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Bước 24

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 9 x$ .

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Bước 25

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Bước 26

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$