Giải tích Ví dụ

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Bước 1

Viết $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = \sec (3 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (3 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.1.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Bước 5.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Bước 5.1.3.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Bước 7.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

Bước 8

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$