Giải tích Ví dụ

\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Bước 1

Sắp xếp lại

e^{- θ}

$e^{- θ}$ và

\cos (2 θ)

$\cos (2 θ)$ .

\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = \cos (2 θ)

$u = \cos (2 θ)$ và

d v = e^{- θ}

$d v = e^{- θ}$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Bước 3

Vì

- - 2

$- - 2$ không đổi đối với

θ

$θ$ , hãy di chuyển

- - 2

$- - 2$ ra khỏi tích phân.

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 2

$- 2$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Bước 4.2

Nhân

2

$2$ với

- 1

$- 1$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Bước 4.3

Sắp xếp lại

e^{- θ}

$e^{- θ}$ và

\sin (2 θ)

$\sin (2 θ)$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = \sin (2 θ)

$u = \sin (2 θ)$ và

d v = e^{- θ}

$d v = e^{- θ}$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Bước 6

Vì

- 1 \cdot 2

$- 1 \cdot 2$ không đổi đối với

θ

$θ$ , hãy di chuyển

- 1 \cdot 2

$- 1 \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Bước 7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

2

$2$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Bước 7.2

Nhân

- 2

$- 2$ với

- 1

$- 1$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Bước 7.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 2

$- 2$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Bước 7.4.2

Nhân

2

$2$ với

- 2

$- 2$ .

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Bước 8

Khi giải tìm

\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , chúng ta thấy rằng

\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ =

\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại

\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ ở dạng

\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa

e^{- θ}

$e^{- θ}$ ra ngoài

- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}

$- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Đưa

e^{- θ}

$e^{- θ}$ ra ngoài

- \cos (2 θ) e^{- θ}

$- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Bước 9.2.1.2

Đưa

e^{- θ}

$e^{- θ}$ ra ngoài

2 \sin (2 θ) e^{- θ}

$2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Bước 9.2.1.3

Đưa

e^{- θ}

$e^{- θ}$ ra ngoài

e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))

$e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Bước 9.2.2

Đưa

- 1

$- 1$ ra ngoài

- \cos (2 θ)

$- \cos (2 θ)$ .

\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Bước 9.2.3

Đưa

- 1

$- 1$ ra ngoài

2 \sin (2 θ)

$2 \sin (2 θ)$ .

\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Bước 9.2.4

Đưa

- 1

$- 1$ ra ngoài

- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))

$- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Bước 9.2.5

Viết lại

- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))

$- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ ở dạng

- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))

$- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Bước 9.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$

- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$

- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$