Giải tích Ví dụ

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{- θ}$ và $\cos (2 θ)$ .

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (2 θ)$ và $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Bước 3

Vì $- - 2$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $- - 2$ ra khỏi tích phân.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $e^{- θ}$ và $\sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (2 θ)$ và $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Bước 6

Vì $- 1 \cdot 2$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $- 1 \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Bước 7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Bước 7.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Bước 7.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ ở dạng $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $e^{- θ}$ ra ngoài $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Đưa $e^{- θ}$ ra ngoài $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Bước 9.2.1.2

Đưa $e^{- θ}$ ra ngoài $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Bước 9.2.1.3

Đưa $e^{- θ}$ ra ngoài $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Bước 9.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Bước 9.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 \sin (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Bước 9.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Bước 9.2.5

Viết lại $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ ở dạng $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Bước 9.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$