Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 x^{5} + x^{2} + 4}{5 x^{2} - 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 4 x^{5} + x^{2} + 4$ và $g (x) = 5 x^{2} - 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + x^{2} + 4] - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{5} + x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{5}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.6

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + 0) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.7

Cộng $20 x^{4} + 2 x$ và $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.11

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.12

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + 0)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Cộng $10 x$ và $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 2.13.2

Nhân $10$ với $- 1$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5} + x^{2} + 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) + (- 10 (4 x^{5}) - 10 x^{2} - 10 \cdot 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Khai triển $(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4} + 2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{5 \cdot 20 x^{2} x^{4} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.2.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot 20 (x^{4} x^{2}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 \cdot 20 x^{4 + 2} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2.3

Cộng $4$ và $2$ .

$\frac{5 \cdot 20 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.3

Nhân $5$ với $20$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{2} x - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{1 + 2} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.6

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.7

Nhân $20$ với $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.8

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Nhân $x^{5}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x \cdot x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3.2

Nhân $x$ với $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x^{1} x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{1 + 5}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3.3

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{6}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.4

Nhân $4$ với $- 10$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x \cdot x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x^{1} x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{1 + 2} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.1.6

Nhân $- 10$ với $4$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $10 x^{3}$ khỏi $10 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} + 0 - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Cộng $100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6}$ và $0$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Trừ $40 x^{6}$ khỏi $100 x^{6}$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.4

Trừ $40 x$ khỏi $- 4 x$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.4

Đưa $4 x$ ra ngoài $60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $60 x^{6}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 40 x^{4}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 44 x$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.4.4

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3})$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Bước 3.4.5

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3} - 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$