Giải tích Ví dụ

$\int \frac{14}{\sqrt[3]{3 x + 1}} d x$

Bước 1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $14$ ra khỏi tích phân.

$14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x + 1}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x + 1$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt[3]{u}$ .

$14 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$14 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $14$ .

$\frac{14}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{14}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{14}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{14}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{14}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{14}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{14}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ ở dạng $\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{14}{3}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $14$ với $3$ .

$\frac{42}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{42}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7 u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x + 1$ .

$7 {(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + C$