Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1.1.3.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1.1.3.1.3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Bước 1.1.3.1.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Bước 1.1.3.1.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Bước 1.1.3.1.6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0^{2}}}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Bước 1.1.3.3.1.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.3.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \sqrt{1 + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Bước 1.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Bước 1.3.5

Tính $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Bước 1.3.5.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Bước 1.3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Bước 1.3.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Bước 1.3.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Bước 1.3.5.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Bước 1.3.5.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Bước 1.3.5.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))}$

Bước 1.3.5.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))}$

Bước 1.3.5.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Bước 1.3.5.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Bước 1.3.5.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Bước 1.3.5.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))}$

Bước 1.3.5.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))}$

Bước 1.3.5.12

Cộng $0$ và $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

Bước 1.3.5.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

Bước 1.3.5.14

Kết hợp $2$ và $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

Bước 1.3.5.15

Kết hợp $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

Bước 1.3.5.16

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 1.3.5.17

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 1.3.5.18

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 1.3.6

Trừ $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x})$

Bước 1.5

Viết lại ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x})$

Bước 1.6

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Bước 1.6.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Bước 1.6.3

Kết hợp $x$ và $\frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Bước 1.7

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Bước 1.7.2

Chia $- 2 \sqrt{1 + x^{2}}$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{1 + x^{2}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chuyển số hạng $- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}$

Bước 2.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 2.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 2.5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- 2 \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Bước 3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0^{2}}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0}$

Bước 4.2

Cộng $1$ và $0$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Bước 4.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 4.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$