Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 5 + 3 x^{3}$ và $g (x) = 1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 + 3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + 3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{3 (1 + 2 x^{3}) (3 x^{2}) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.7

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.11

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.12

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) (3 x^{2})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2.14

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(9 \cdot 1 + 9 (2 x^{3})) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} + (- 6 \cdot 5 - 6 (3 x^{3})) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.1

Nhân $9$ với $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.2

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{3})) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 3}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.2.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{5}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.3

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.4

Nhân $- 6$ với $5$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.5

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.5.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 (x^{2} x^{3}))}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{2 + 3})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.5.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{5})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.1.6

Nhân $3$ với $- 6$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.1

Trừ $18 x^{5}$ khỏi $18 x^{5}$ .

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2} + 0}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.2.2

Cộng $9 x^{2} - 30 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.5.3

Trừ $30 x^{2}$ khỏi $9 x^{2}$ .

$\frac{- 21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$