Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 8.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 8.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + 1 x^{- 1} + C$

Bước 10.2.4

Nhân $x^{- 1}$ với $1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$