Giải tích Ví dụ

$x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

Bước 1

Viết $x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 5

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$